Docente
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PIETRANERA Ileana
(programma)
Analisi matematica Gli insiemi e le loro operazioni, notazioni varie. Gli insiemi numerici: da N a R, necessità di un ampliamento. Definizione di funzione e relativa classificazione; funzioni pari e dispari: esempi, riconoscimento e conseguenze grafiche. Simbolo di sommatoria e suo uso per indicare polinomi di grado n. Insieme dei numeri razionali, insieme dei reali. Valore assoluto di un numero e disuguaglianza triangolare. Definizione di intervallo: chiuso, aperto; definizione di intorno.
Classificazione di funzioni. Dominio e segno di funzioni algebriche razionali e irrazionali, trascendenti. Definizione di limite finito per x che tende ad un valore finito: verifica di limite. Limite infinito per x che tende ad un valore finito: verifica; asintoto verticale. Limiti finito e infinito per x che tende ad infinito: asintoto orizzontale; asintoto obliquo di funzioni algebriche razionali fratte.
Funzione continua in un punto e in un intervallo. Classificazione di discontinuità: la funzione parte intera, le funzioni il cui grafico ammettono asintoti verticali; discontinuità eliminabile: funzioni definite a rami. Le funzioni elementari come funzioni continue. Teorema di unicità del limite. Limiti di funzioni continue Teorema del confronto o “dei carabinieri”. Teoremi sulle funzioni continue: di Weierstrass, dei valori intermedi, di esistenza degli zeri. Definizione del numero di Nepero. Limiti notevoli di funzioni trascendenti e loro conseguenze: esempi relativi.
Definizione di derivata e suo significato geometrico. Funzioni non derivabili in un punto, classificazione dei punti di non derivabilità: punti angolosi, cuspidi e flessi a tangente verticale; esempi di ogni tipo. Derivate di funzioni elementari con dimostrazione. Derivata di una somma e di un prodotto con dimostrazione ed esempi di applicazione. Relazioni tra derivabilità e continuità. Definizione di funzione crescente e decrescente. Derivata della funzione reciproca di una funzione derivabile (con dimostrazione) e di un quoziente: esempi di applicazione. Funzioni composte: definizioni, esempi, derivata di una funzione composta. Studio completo di una funzione. Definizione di max e min relativo e teorema di Fermat. Ricerca dei max e min relativi (con il metodo dello studio del segno della derivata prima) e max e min assoluti. Teorema di De l’Hospital( solo applicazioni). Confronto di infinitesimi e confronto di infiniti. Calcolo delle derivate successive. Convessità e concavità di una curva, determinazione di flessi a tangente obliqua: determinazione delle tangenti inflessionali. Sviluppo di una funzione in serie di Taylor / Mc Laurin: applicazione ad alcune funzioni notevoli. Funzioni invertibili: definizione ed esempi. Derivata della funzione inversa di una data: caso di arcsinx, arcosx e arctanx.
Introduzione alle matrici, scrittura matriciale, somma di matrici e prodotto righe per colonne. Matrice nulla, identica, matrice trasposta di una data. Determinante di una matrice e suo calcolo nei casi 2x2 e 3x3 (regola di Sarrus). Rango di una matrice: definizione e determinazione. Definizione e determinazione dell'inversa di una matrice data. Sistemi lineari di n equazioni in m incognite: teorema di Rouchè-Capelli e teorema di Cramer (caso n x n). Integrali indefiniti: definizione di funzioni primitive, integrali immediati e quasi immediati. Definizione di integrale definito mediante le somme di Riemann. Teorema della media integrale. Funzione integrale e teorema fondamentale del calcolo integrale, teorema di Torricelli Barrow. Applicazioni al calcolo di aree. Integrazione di funzioni algebriche razionali fratte con denominatore di 2° grado con delta positivo, nullo. Integrali riconducibili all'arcotangente Integrali indefiniti risolvibili per sostituzione. Regola di integrazione per parti. Esercizi relativi: integrale di (senx)^2; integrali che si risolvono iterando il procedimento. Integrali generalizzati e impropri, approssimazione numerica degli integrali definiti con il metodo dei rettangoli. Introduzione delle funzioni di due variabili: dominio e grafico nello spazio tridimensionale. Curve di livello. Continuità di funzioni di due variabili, significato e calcolo delle derivate parziali prime e seconde, matrice e determinante Hessiano; ricerca dei massimi e minimi relativi liberi. Equazioni differenziali: ordine di una equazione, integrale generale, integrale particolare: problema di Cauchy. Equazioni differenziali a variabili separabili: esempi relativi Equazioni differenziali del primo ordine lineari: esempi relativi Dinamica delle popolazioni. Il concetto di modello matematico. Dal modello di Malthus al modello di Verhulst: la funzione logistica. Studio di entrambi i modelli come soluzioni di equazioni differenziali (con dimostrazione e problemi relativi). Analisi statistica Statistica descrittiva: tabelle e grafici, istogrammi e grafici a torta. Indici di posizione: media, moda e mediana percentili e quartili, media pesata. Indici di dispersione: varianza e deviazione standard. Valutazione delle incertezze nelle misurazioni: errori assoluti, relativi e percentuali. Metodo dei minimi quadrati, Covarianza, Coefficiente di correlazione lineare. Calcolo combinatorio. Disposizioni semplici e con ripetizione; permutazioni semplici e con ripetizione; combinazioni semplici e con ripetizioni; coefficiente binomiale nelle sue diverse forme, potenza di un binomio con formula di Newton. Definizione classica di probabilità: esempi relativi. Definizione frequentista e soggettiva di probabilità. Teorema della probabilità totale. Il concetto di variabile aleatoria e le distribuzioni discrete e continue. Valore atteso e varianza di una distribuzione di variabili aleatorie Distribuzioni discrete: distribuzione binomiale, definizione ed esempi relativi; Distribuzioni continue: distribuzione normale: funzione di densità, curva di Gauss. Introduzione della funzione di ripartizione e uso delle tavole per il calcolo della probabilità di eventi aleatori con distribuzione normale standardizzata: di ogni argomento trattato sono stati svolti esempi adeguati.
(testi)
TESTO BASE P.Marcellini, C.Sbordone
Elementi di calcolo – Versione semplificata per I nuovi corsi di laurea
Ed. Liguori
Per gli esercizi viene lasciato libero lo studente di utilizzare qualunque eserciziario di analisi e calcolo delle probabilità e statistica sia in forma cartacea che on line.
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