EQUAZIONI DIFFERENZIALI
1. Equazioni a variabili separabili, teorema di Cauchy, calcolo della soluzione
2. Equazioni lineari del primo ordine a coefficienti variabili, omogenee e non omogenee, calcolo della soluzione.
3. Equazioni omogenee del secondo ordine a coefficienti costanti, calcolo della soluzione dell’omogenea, equazione caratteristica, discriminante positivo, negativo e nullo, indipendenza delle soluzioni, Wronskiano, calcolo delle costanti di integrazione con le condizioni iniziali (problema di Cauchy).
4. Equazioni non omogenee del secondo ordine a coefficienti costanti, calcolo della soluzione come combinazione della soluzione dell’omogenea e di un integrale particolare, calcolo dell’integrale particolare con il metodo di variazione della costante, calcolo dell’integrale particolare con il metodo di verosimiglianza (confronto), nel caso in cui la funzione nota sia un polinomio di grado n, una funzione esponenziale, una funzione trigonometrica.
5. Studio di equazioni del primo e del secondo ordine: equazione di Malthus e equazione logistica.
6. Equazioni autonome del primo ordine , analisi dei punti critici, analisi qualitativa
7. Equazioni particolari: di Bernouilli , omogenee , omogenee generalizzate , di D’Alembert , di Clairaut , Equazioni differenziali implicite del tipo ovvero del tipo Equazioni normali pure di ordine n del tipo , problema della trave appoggiata
8. Sistemi autonomi del primo ordine a coefficienti costanti, analisi dei punti critici mediante autovalori e autovettori della matrice del sistema, orbite, classificazione del punto critico: stabile, asintoticamente stabile, instabile. Sistemi in 2 dimensioni: classificazione delle orbite, nodo, centro, fuoco, colle (o punto di sella).
CALCOLO DIFFERENZIALE DELLE CURVE ALGEBRICHE
1. Funzioni a valori vettoriale da a
2. Calcolo vettoriale: dipendenza e indipendenza lineare, spazi vettoriali, operazioni tra vettori, tra vettori e scalari, prodotto vettoriale, prodotto scalare e prodotto misto. Operazioni tra vettori in forma intrinseca e in termini di componenti. Limiti e derivate di vettori
3. Curve piane in forma esplicita, implicita e parametrica. Curve in coordinate polari. Coniche in forma polare. Curve chiuse, aperte, semplici e regolari.
4. Curva rettificabile e non rettificabile. Lunghezza di una curva rettificabile, ascissa curvilinea. Integrale curvilineo, calcolo del baricentro e del momento di inerzia di una linea materiale.
5. Triedro mobile: vettore tangente, normale e binormale. Curvatura e torsione. Formule per il calcolo della curvatura e della torsione in funzione dell’ascissa curvilinea e di un parametro qualsiasi. Calcolo di curvatura e della torsione per l’elica cilindrica. Formule differenziali di Frenet.
CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI PIU’ VARIABILI
1. Funzioni da a
2. Grafici, insiemi di livello e insiemi di definizione di funzioni di più variabili
3. Limiti e continuità per funzioni di più variabili. Calcolo di limiti, metodo della restrizione e in coordinate polari.
4. Insiemi aperti, chiusi, non aperti né chiusi. Punti di frontiera. Interno di un insieme. Chiusura di un insieme. Insieme semplicemente connessi. Insiemi convessi.
5. Teorema di Weierstrass sull’esistenza del max e min (solo enunciato), teorema di esistenza degli zeri (solo enunciato). Esempi.
6. Derivate parziali, piano tangente
7. Differenziabilità, gradiente, derivate direzionali. Direzione di massima crescita e di crescita nulla di una funzione
8. Differenziale secondo, derivate successive, teorema di Schwarz. Matrice Hessiana, formula di Taylor al secondo ordine, resto di Lagrange e di Peano.
9. Forme quadratiche elementari. Forme definite, semidefinite e indefinite. Teorema di Fermat. Punti di max e min. Punti di sella. Metodo della restrizione per i punti di sella.
10. Estremi liberi. Studio della natura dei punti critici mediante i minori dell’Hessiano o mediante i suoi autovalori.
11. Estremi vincolati. Moltiplicatori di Lagrange.

CALCOLO INTEGRALE PER FUNZIONI DI PIU’ VARIABILI
1. Integrali doppi: integrale di una funzione limitata definita su un rettangolo, formula di riduzione per insiemi rettangolari, riduzione per funzioni separabili definite su insiemi rettangolari. Funzioni integrabili su domini non rettangolari. Insiemi normali (semplici). Insiemi regolari. Insieme misurabile. Insiemi di misura nulla. Proprietà elementari dell’integrale doppio.
2. Calcolo di integrali doppi: metodo di riduzione per domini normali (semplici). Calcolo di baricentri e momenti di inerzia. Calcolo di integrali doppi: cambiamento di variabili. Jacobiano. Cambiamento da coordinate cartesiane a polari. Integrali doppi generalizzati. Integrali impropri. Integrale della gaussiana.
3. Calcolo degli integrali tripli. Integrazione “per fili”. Integrazione “per strati”. Cambio di variabile negli integrali tripli. Interpretazioni geometriche e fisiche degli integrali tripli: volume, massa, baricentro, momento di inerzia.
CAMPI VETTORIALI (Cap. 4, 6 del libro di teoria )
1. Operatori: gradiente, rotore e divergenza. Proprietà degli operatori. Iterazione degli operatori differenziali. Identità differenziali.
2. Integrale di linea di un campo vettoriale. Lavoro di un campo vettoriale e circuitazione. Integrali di linea di prima specie e di seconda specie. Campi conservativi e potenziali. Espressione del lavoro per un campo conservativo in funzione del potenziale. Campi irrotazionali. Insiemi semplicemente connessi. Condizione sufficiente sull’insieme perché un campo irrotazionale definito in sia conservativo.
3. Campi Solenoidali e potenziale vettore. Equazioni di Maxwell. Condizione di Lorentz sul potenziale vettore. Equazione delle onde. Soluzione dell’equazione delle onde.
4. Formule di Gauss-Green nel piano.
5. Area e integrali di superficie: area di una superficie data in forma parametrica, elemento d’area sulla superficie, area di una superficie data in forma cartesiana, area di una superficie di rotazione. Integrale di superficie di una funzione scalare. Calcolo di baricentri e momenti d’inerzia.
Integrale di superficie di un campo vettoriale, flusso: superfici orientabili e non orientabili, bordo di una superficie, nastro di Moebius, flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie.
1. Teorema della divergenza (Gauss). Teorema del rotore (Stokes). Deduzione del teorema di Gauss e di Stokes dalle formule di Gauss-Green.
SERIE DI POTENZE E SERIE DI FOURIER
1. Serie di funzioni. Esempi: serie geometrica e serie esponenziale. Convergenza totale di una serie di funzioni. Derivabilità e integrabilità di una serie termine a termine che converga totalmente. Applicazioni al calcolo di serie di funzioni mediante le serie derivate.
2. Serie di potenze. Raggio di convergenza. Criterio della radice e del rapporto per il calcolo del raggio di convergenza. Comportamento di una serie di potenze agli estremi dell’intervallo di convergenza.
3. Serie trigonometriche. Serie di Fourier. Calcolo dei coefficienti della serie di Fourier. Serie di Fourier con periodi diversi da . Forma esponenziale complessa della serie di Fourier.

Analisi Matematica 2, M. Bramanti, C. Pagani, S. Salsa, Zanichelli